[IMO-Olimpíada Matemática Internacional-1961] Sejam $ a $, $ b $ e $ c $ lados
de um triângulo e $ T $ sua área.
Prove que $$ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4 \sqrt {
3} T .$$
Quando ocorre a igualdade?
Solução de Fabiano Ferreira:
Procuremos dar um encadeamento lógico à
prova.
I) Queremos provar que:
$$ a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 }\geq 4\sqrt { 3 }
T $$
1) Seja $ s $ o semiperímetro do triângulo.
Logo, $$ 2s=a+b+c $$.
2) Em seguida, apliquemos MA-MG em $ s-a $,
$ s-b $ e $ s-c $ e desenvolvamos:
$$ \frac { (s-a)+(s-b)+(s-c) }{ 3 } \geq $$
$$ \sqrt [ 3 ]{ (s-a)(s-b)(s-c) } $$
$$\Leftrightarrow { \left[ \frac {
(s-a)+(s-b)+(s-c) }{ 3 } \right] }^{ 3 }\geq $$
$$ (s-a)(s-b)(s-c) $$
$$\Leftrightarrow (s-a)(s-b)(s-c)\le $$
$${ \left[ \frac { (s-a)+(s-b)+(s-c) }{ 3 }
\right] }^{ 3 } $$
$$\Leftrightarrow s(s-a)(s-b)(s-c)\le $$
$$ s{ \left[ \frac { (s-a)+(s-b)+(s-c) }{ 3
} \right] }^{ 3 } $$
$$\Leftrightarrow \sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c)
} \le $$
$$ \sqrt { s{ \left[ \frac {
(s-a)+(s-b)+(s-c) }{ 3 } \right] }^{ 3 } } $$
$$\Leftrightarrow \sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c)
} \le \sqrt { s{ \left[ \frac { 3s-2s }{ 3 } \right] }^{ 3 } } $$
$$\Leftrightarrow \sqrt { s(s-a)(s-b)(s-c)
} \le $$
$$\sqrt { s{ \left[ \frac { s }{ 3 }
\right] }^{ 3 } } =\sqrt { \frac { { s }^{ 4 } }{ 9.3 } } =\frac { \sqrt { 3 }
}{ 9 } { s }^{ 2 } $$
3) Portanto:
$$ T\le \frac { \sqrt { 3 } }{ 9 } { s }^{
2 } .....(1) $$
4) Levemos $ s=\frac { a+b+c }{ 2 } $ na
equação (1) e desenvolvamos:
$$ T\le \frac { \sqrt { 3 } }{ 9 } { \left(
\frac { a+b+c }{ 2 } \right) }^{ 2 } $$
Multipliquemos ambos os lados da
desigualdade por $ 4\sqrt { 3 } $:
$$ \Leftrightarrow 4\sqrt { 3 } T\le 4\sqrt
{ 3 } \left[ \frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } { { \left( \frac { a+b+c }{ 3 } \right)
}^{ 2 } } \right] $$
$$ \Leftrightarrow 4\sqrt { 3 } T\le 3{ {
\left( \frac { a+b+c }{ 3 } \right) }^{ 2 } } $$
$$ \Leftrightarrow 4\sqrt { 3 } T\le \frac
{ 1 }{ 3 } { { \left( a+b+c \right) }^{ 2 } } .....(2)$$
5) Se tomarmos, $ a, b, c $ e $ 1, 1, 1 $,
por Cauchy-Schwarz teremos:
$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ a }_{ k })^{ 2 }
} \sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ b }_{ k })^{ 2 } } \ge { \left( \sum _{ k=1 }^{ n }{
{ { a }_{ k }b }_{ k } } \right) }^{ 2 } $$
$$ (a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 })(1^{ 2 }+1^{ 2
}+1^{ 2 })\ge $$
$${ (a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 1) }^{ 2 } $$
$$ a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 }\ge \frac { 1 }{
3 } { { \left( a+b+c \right) }^{ 2 } } .....(3)$$
$$\frac { 1 }{ 3 } { { \left( a+b+c \right)
}^{ 2 } }\ge 4\sqrt { 3 } T .....(2)$$
6) Portanto, de (2) e (3) segue-se que:
$$ a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 }\ge 4\sqrt { 3 }
T $$
Assim, concluímos a prova.
$\square $
II) A igualdade ocorre quando $
(s-a)=(s-b)=(s-c) $ ou seja, quando $ a=b=c $, quer dizer, quando o triângulo
for equilátero.
