[MAT] (M. Steiner) Determinantes

(M. Steiner)

Seja $ D_n $ o determinante da matriz $n\times n$ de entradas $a_{ ij }=\mid i-j\mid $.

Mostre que $ D_{ n }=(-1)^{ n }.(1-n).2^{ n-2 } $.

Solução de M. Steiner:

Tentemos visualizar o determinante, que será do tipo:

$$ D_n=\begin{vmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } & \cdots & { a }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } & \cdots & { a }_{ 2n } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } & \cdots & { a }_{ 3n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { a }_{ n1 } & {a}_{n2 } & {a}_{n3} & \cdots & {a}_{nn} \end{vmatrix}=$$

$$\begin{vmatrix} { 0 } & { 1 } & {2 } & 3 & \cdots & { n-1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & 2 & \cdots & { n-2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } & 1& \cdots & { n-3 } \\ { 3 } & { 2} & { 1 } & 0 & \cdots & { n-4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { n-1 } & {n-2 } & {n-3} & n-4 & \cdots & {0} \end{vmatrix}$$

1º passo - Some a n-ésima coluna na primeira coluna do determinante(Teorema de Jacobi nos garante que o determinante não é alterado com essa operação).

$$D_n=\begin{vmatrix} { n-1 } & { 1 } & {2 } & 3 & \cdots & { n-1 } \\ { n-1 } & { 0 } & { 1 } & 2 & \cdots & { n-2 } \\ { n-1 } & { 1 } & { 0 } & 1& \cdots & { n-3 } \\ { n-1 } & { 2} & { 1 } & 0 & \cdots & { n-4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { n-1 } & {n-2 } & {n-3} & n-4 & \cdots & {0} \end{vmatrix}$$

2º passo - Destaque o fator (n-1) do determinante.

$$D_n=(n-1)\begin{vmatrix} { 1 } & { 1 } & {2 } & 3 & \cdots & { n-1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & 2 & \cdots & { n-2 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & 1& \cdots & { n-3 } \\ { 1 } & { 2} & { 1 } & 0 & \cdots & { n-4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {n-2 } & {n-3} & n-4 & \cdots & {0} \end{vmatrix}$$

3º passo - Utilize a regra de Chió, obtendo:

$$D_n=(n-1)\begin{vmatrix} { -1 } & { -1 } & {-1 } & {-1} & \cdots & { -1 } \\ { 0 } & { -2 } & { -2 } & -2 & \cdots & { -2 } \\ { 1 } & { -1 } & { -3 } & -3& \cdots & { -3 } \\ { 1 } & { 2} & { 1 } & 0 & \cdots & { -4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { n-3 } & {n-5 } & {n-7} & n-9 & \cdots & {-(n-1)} \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)}$$

4º passo - Destaque o fator (-1) da primeira linha do determinante:

$$D_n=(1-n)\begin{vmatrix} { 1 } & { 1 } & {1 } & {1} & \cdots & { 1 } \\ { 0 } & { -2 } & { -2 } & -2 & \cdots & { -2 } \\ { 1 } & { -1 } & { -3 } & -3& \cdots & { -3 } \\ { 1 } & { 2} & { 1 } & 0 & \cdots & { -4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { n-3 } & {n-5 } & {n-7} & n-9 & \cdots & {-(n-1)} \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)}$$

5º passo - Utilize a regra de Chió novamente, obtendo:

$$D_n=(1-n)\begin{vmatrix} { -2 } & { -2 } & {-2 } & {-2} & \cdots & { -2 } \\ { -2 } & { -4 } & { -4 } & -4 & \cdots & { -4 } \\ { -2 } & { -4 } & { -6 } & -6& \cdots & { -6 } \\ { -2 } & { -4} & { -6 } & -8 & \cdots & { -8 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { -2 } & {-4 } & {-6} & -8 & \cdots & {-2(n-2)} \end{vmatrix}_{(n-2)\times (n-2)}$$

6º passo - Destaque de cada linha o fator (+2) do determinante de ordem (n-2):

$$D_n=(1-n)2^{n-2}\begin{vmatrix} { -1 } & { -1 } & {-1 } & {-1} & \cdots & { -1 } \\ { -1 } & { -2 } & { -2 } & -2 & \cdots & { -2 } \\ { -1 } & { -2 } & { -3 } & -3& \cdots & { -3 } \\ { -1 } & { -2} & { -3 } & -4 & \cdots & { -4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { -1 } & {-2 } & {-3} & -4 & \cdots & {-(n-2)} \end{vmatrix}_{(n-2)\times (n-2)}$$

7º passo - Destaque de cada linha o fator (-1) do determinante de ordem (n-2):

$$D_n=(1-n)2^{n-2}.(-1)^{n-2}\begin{vmatrix} { 1 } & { 1 } & {1 } & {1} & \cdots & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 2 } & 2 & \cdots & { 2 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } & 3& \cdots & { 3 } \\ { 1 } & { 2} & { 3 } & 4 & \cdots & { 4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {2 } & {3} & 4 & \cdots & {(n-2)} \end{vmatrix}_{(n-2)\times (n-2)}$$

Perceba que se provarmos que esse determinante é igual a 1(n>2), nosso problema estará resolvido.

Antes de prosseguirmos, vamos estudar o caso geral desse determinante:

$$K_n=\begin{vmatrix} { 1 } & { 1 } & {1 } & {1} & \cdots & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 2 } & 2 & \cdots & { 2 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } & 3& \cdots & { 3 } \\ { 1 } & { 2} & { 3 } & 4 & \cdots & { 4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {2 } & {3} & 4 & \cdots & {n} \end{vmatrix}_{n\times n}$$

Adendo: Vamos proceder a uma generalização necessária para depois voltamos ao problema.

Seja $$K_n=\begin{vmatrix} { 1 } & { 1 } & {1 } & {1} & \cdots & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 2 } & 2 & \cdots & { 2 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } & 3& \cdots & { 3 } \\ { 1 } & { 2} & { 3 } & 4 & \cdots & { 4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {2 } & {3} & 4 & \cdots & {n} \end{vmatrix}_{n\times n}$$

Calcule $K_{ n }$.

Solução:

1º passo - Multiplique a segunda linha por (-1/2) e some na primeira.

$$K_n=\begin{vmatrix} { 1/2 } & { 0} & {0 } & {0} & \cdots & { 0 } \\ { 1 } & { 2 } & { 2 } & 2 & \cdots & { 2 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } & 3& \cdots & { 3 } \\ { 1 } & { 2} & { 3 } & 4 & \cdots & { 4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {2 } & {3} & 4 & \cdots & {n} \end{vmatrix}_{n\times n}$$

2º passo - Multiplique a terceira linha por (-2/3) e some na segunda.

$$K_n=\begin{vmatrix} { 1/2 } & { 0 } & {0 } & {0} & \cdots & { 0 } \\ { 1/3 } & { 2/3 } & { 0 } & 0 & \cdots & { 0 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } & 3& \cdots & { 3 } \\ { 1 } & { 2} & { 3 } & 4 & \cdots & { 4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {2 } & {3} & 4 & \cdots & {n} \end{vmatrix}_{n\times n}$$

3º passo - Multiplique a quarta linha por (-3/4) e some na terceira.

$$K_n=\begin{vmatrix} { 1/2 } & { 0 } & {0 } & {0} & \cdots & { 0 } \\ { 1/3 } & { 2/3 } & { 0 } & 0 & \cdots & { 0 } \\ { 1/4 } & { 1/2 } & { 3/4 } & 0& \cdots & { 0 } \\ { 1 } & { 2} & { 3 } & 4 & \cdots & { 4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {2 } & {3} & 4 & \cdots & {n} \end{vmatrix}_{n\times n}$$

4º passo - Repita esse processo até a n-ésima linha. Ou seja, multiplique a n-ésima linha por (n-1)/n e some na linha anterior.

$$K_n=\underbrace{ \begin{vmatrix} { 1/2 } & { 0 } & {0 } & {0} & \cdots & { 0 } \\ { 1/3 } & { 2/3 } & { 0 } & 0 & \cdots & { 0 } \\ { 1/4 } & { 1/2 } & { 3/4 } & 0& \cdots & { 0 } \\ { 1/5 } & { 2/5} & { 3/5 } & 4/5 & \cdots & { 0 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {2 } & {3} & 4 & \cdots & {n} \end{vmatrix}}_{n\times n}_{Matriz\ Triangular\ Inferior}$$

Portanto:

$$ K_n = (1/2).(2/3).(3/4).(4/5)...[(n-1)/n].n $$

$$ \therefore \boxed{K_n = 1} $$

Logo, está provado que esse determinante é sempre 1 para qualquer n natural.

Voltando ao problema original:

$$D_n=(1-n).2^{n-2}.(-1)^{n-2}.\begin{vmatrix} { 1 } & { 1 } & {1 } & {1} & \cdots & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 2 } & 2 & \cdots & { 2 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } & 3& \cdots & { 3 } \\ { 1 } & { 2} & { 3 } & 4 & \cdots & { 4 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { 1 } & {2 } & {3} & 4 & \cdots & {(n-2)} \end{vmatrix}_{(n-2)\times (n-2)}$$

$$D_n=(1-n).2^{n-2}.(-1)^{n-2}.K_{n-2}$$

$$D_n= (1-n).2^{n-2}.(-1)^{n-2}.1$$

$$D_n=(1-n).2^{n-2}.(-1)^{n-2}.(-1)^{2}$$

$$\therefore \boxed{ D_n=(-1)^{n}.(1-n).2^{n-2}}$$

$\blacksquare\ C.Q.D.$