Encontre todos os inteiros positivos \( n \) para os quais exitem inteiros não-negativos \( a_1 \), \( a_2 \), \( \dots \), \( a_n \) tais que \[ \frac1{2^{a_1}}+\frac1{2^{a_2}}+\cdots+\frac1{2^{a_n}}=\frac1{3^{a_1}}+\frac2{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.\]
Seja \( M=\max\{a_1,\dots, a_n\} \). Então, nós temos \( 3^M=1\cdot 3^{M-a_1}+ 2\cdot 3^{M-a_2}+\cdots + n\cdot 3^{M-a_n}\equiv 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2 \) (mod \( n \)). Portanto, o número \( \frac{n(n+1)}2 \) deve ser ímpar e, por isso, \( n\equiv 1 \) (mod 4) ou \( n\equiv 2 \) (mod 4).
Nós iremos provar que, para cada \( n\in\mathbb N \) da forma \( 4k+1 \) ou \( 4k+2 \) (para algum \( k\in\mathbb N \)) existem inteiros \( a_1 \), \( \dots \), \( a_n \) com a propriedade descrita.
Para uma sequência \( \mathbf a=\left(a_1, a_2, \dots, a_n\right) \) introduzamos a seguinte notação: \[ E(\mathbf a)=\frac1{2^{a_1}}+\frac1{2^{a_2}}+\cdots+\frac1{2^{a_n}}\quad\quad\quad\mbox{ e }\quad\quad\quad D(\mathbf a)=\frac1{3^{a_1}}+\frac2{3^{a_2}}+\cdots+\frac{n}{3^{a_n}}.\] Assuma que, para \( n=2m+1 \) existe uma sequência \( \mathbf a=(a_1, \dots, a_n) \) de inteiros não-negativos com \( E(\mathbf a)=D(\mathbf a)=1 \). Considere a sequência \( \mathbf a^{\prime}=(a_1^{\prime},\dots, a_{n+1}^{\prime}) \) definida da seguinte maneira: \[ a_j^{\prime}=\left\{\begin{array}{rl} a_j,& \mbox{ se } j\not \in \{m+1,2m+2\}\\ a_{m+1}+1,& \mbox{ se } j\in \{m+1,2m+2\}.\end{array}\right.\] Então, temos \[ E\left(\mathbf a^{\prime}\right)=D(\mathbf a)-\frac1{2^{a_{m+1}}}+2\cdot \frac1{2^{a_{m+1}+1}}=1\;\;\;\mbox{ e }\;\;\; D\left(\mathbf a^{\prime}\right)=D(\mathbf a)- \frac{m+1}{3^{a_{m+1}}}+\frac{m+1}{3^{a_{m+1}+1}}+\frac{2m+2}{3^{a_{m+1}+1}}=1.\] Isto implica que, se a proposição é válida para \( 2m+1 \), então, ela também é válida para \( 2m+2 \).
Assuma agora que a proposição é válida para \( n=4m+2 \) para algum \( m\geq 2 \), e assuma que \( \mathbf a=\left(a_1, \dots, a_{4m+2}\right) \) é a sequência correspondente de \( n \) inteiros não-negativos. Iremos construir a seguinte sequência \( \mathbf a^{\prime}=\left(a_1^{\prime}, a_2^{\prime}, \dots, a^{\prime}_{4m+13}\right) \) que satisfaz \( E\left(\mathbf a^{\prime}\right)=D\left(\mathbf a^{\prime}\right)=1 \) assim provando que a proposição é válida para \( 4m+13 \). Defina: \[ a^{\prime}_j=\left\{ \begin{array}{rl} a_{m+2}+2, &\mbox{ se } j=m+2\\ a_{j}+1, &\mbox{ se } j\in\{2m+2, 2m+3, 2m+4, 2m+5,2m+6\}\\ a_{\frac{j}2}+1, &\mbox{ se } j\in\{4m+4, 4m+6, 4m+8, 4m+10,4m+12\}\\ a_{m+2}+3, &\mbox{ se } j\in\{4m+3, 4m+5, 4m+7, 4m+9, 4m+11, 4m+13\}\\ a_j, &\mbox{ caso contrário.} \end{array}\right.\]
Agora nós temos \[ E\left(\mathbf a^{\prime}\right)=E(\mathbf a)-\frac1{2^{a_{m+2}}}- \sum_{j=2}^6 \frac1{2^{a_{2m+j}}}+\frac1{2^{a_{m+2}+2}}+\sum_{j=2}^6\frac1{2^{a_{2m+j}+1}}+\sum_{j=2}^6 \frac1{2^{a_{2m+j}+1}}+6\cdot \frac1{2^{a_{m+2}+3}}=1.\] Usemos outra nomenclatura: \[ D\left(\begin{array}{ccc} c_1, &\dots, &c_k\\ d_1, &\dots, &d_k\end{array}\right)=\frac{d_1}{3^{c_1}}+\cdots+\frac{d_k}{3^{c_k}}.\] Devemos verificar que \( D\left(\mathbf a^{\prime}\right)=D(\mathbf a)=1 \).Para tanto, escrevemos\[ D\left(\mathbf a^{\prime}\right)-D(\mathbf a)=D\left( \begin{array}{ccccccc}a^{\prime}_{m+2}, &a^{\prime}_{4m+3}, &a^{\prime}_{4m+5}, &a^{\prime}_{4m+7}, &a^{\prime}_{4m+9}, &a^{\prime}_{4m+11}, &a^{\prime}_{4m+13}\\ m+2, & 4m+3,& 4m+5,& 4m+7,& 4m+9,& 4m+11,& 4m+13\end{array}\right)\] \[-D\left(\begin{array}{c}a_{m+2}\\ m+2\end{array}\right) + \sum_{j=2}^6 \left( D\left(\begin{array}{cc}a^{\prime}_{2m+j}, &a^{\prime}_{4m+2j}\\ 2m+j,& 4m+j\end{array}\right)-D\left(\begin{array}{c}a_{2m+j}\\ 2m+j\end{array}\right)\right),\] Para cada \( j\in\{2,3,4,5,6\} \) nós temos \[ D\left(\begin{array}{cc}a^{\prime}_{2m+j}, &a^{\prime}_{4m+2j}\\ 2m+j,& 4m+j\end{array}\right)-D\left(\begin{array}{c}a_{2m+j}\\ 2m+j\end{array}\right)= \frac{2m+j}{3^{a_{2m+j}+1}}+ \frac{4m+2j}{3^{a_{2m+j}+1}}-\frac{2m+j}{3^{a_{2m+j}}}=0.\] O primeiro termo na expressão para \( D\left(\mathbf a^{\prime}\right)-D(\mathbf a) \) é também igual a \( 0 \) porque \[ D\left( \begin{array}{ccccccc}a^{\prime}_{m+2}, &a^{\prime}_{4m+3}, &a^{\prime}_{4m+5}, &a^{\prime}_{4m+7}, &a^{\prime}_{4m+9}, &a^{\prime}_{4m+11}, &a^{\prime}_{4m+13}\\ m+2, & 4m+3,& 4m+5,& 4m+7,& 4m+9,& 4m+11,& 4m+13\end{array}\right)- D\left(\begin{array}{c}a_{m+2}\\ m+2\end{array}\right)=\] \[ =\frac{m+2}{3^{a_{m+2}+2}}+\sum_{j=1}^6 \frac{4m+2j+1}{3^{a_{m+2}+3}}-\frac{m+2}{3^{a_{m+2}}}=0.\] Deste modo, \( D\left(\mathbf a^{\prime}\right)=0 \) e a proposição é válida para \( 4m+13 \). Por último, resta verificar que há sequências de comprimentos \( 1 \), \( 5 \), \( 9 \), \( 13 \), e \( 17 \). O comprimento de uma sequência finita é o número de termos que ela contêm ou, de modo equivalente, é a cardinalidade de seu domínio. Por conseguinte, uma forma de escolher essas sequências é: \[ (0), \;\;\; (2,2,2,3,3), \;\;\; (2,3,3,3,3,4,4,4,4),\;\;\; (2,3,3,4,4,4,5,4,4,5,4,5,5),\] \[ (3,2,2,4,4,5,5,6,5,6,6,6,6,6,6,6,5).\]
