[MAT-Trigonometria]

Prove que:

$ \tan { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right) \quad +\quad  } 4.\sin { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } =\sqrt { 11 } $

1a. Solução de Víctor Domene:

$ \tan { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right) \quad +\quad  } 4.\sin { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } =x$

Tirando o MMC:

$\sin { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  } +\quad 4.\sin { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right) .\cos { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  }  } =x.\cos { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  }$

Elevando ao quadrado:

$\sin ^{ 2 }{\left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  } +\quad 4.\sin { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } .\sin { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  } + $

$\sin ^{ 2 }{ \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } .\cos ^{ 2 }{ \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  } ={ x }^{ 2 }.\cos ^{ 2 }{ \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  } $

Fazendo algumas manipulações, como $\sin ^{ 2 }{ x } \frac { \left[ 1-\cos { \left( 2x \right)  }  \right]  }{ 2 }$  e a prostaférese ao contrário:

$\frac { \left[ 1-\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]  }{ 2 } +2.\cos { \left( \frac { 4\pi  }{ 11 }  \right)  } -\quad 2.\cos { \left( \frac { 8\pi  }{ 11 }  \right)  } +$

${ \left[ 4.\sin { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } .\cos { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }.\cos ^{ 2 }{ \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  }$

$=\frac { \left[ 1-\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]  }{ 2 } +2.\cos { \left( \frac { 4\pi  }{ 11 }  \right)  } -\quad 2.\cos { \left( \frac { 8\pi  }{ 11 }  \right)  } +$

${ \left[ 2.\sin { \left( \frac { 5\pi  }{ 11 }  \right)  } -2.\sin { \left( \frac { \pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]  }^{ 2 }=$

$=\frac { \left[ 1-\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]  }{ 2 } +2.\cos { \left( \frac { 4\pi  }{ 11 }  \right)  } -\quad 2.\cos { \left( \frac { 8\pi  }{ 11 }  \right)  } +$

$4.\sin ^{ 2 }{ \left( \frac { 5\pi  }{ 11 }  \right)  } -8\sin { \left( \frac { 5\pi  }{ 11 }  \right)  } .\sin { \left( \frac { \pi  }{ 11 }  \right)  } +\quad 4.\sin ^{ 2 }{ \left( \frac { \pi  }{ 11 }  \right)  } =$

$=\frac { \left[ 1-\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]  }{ 2 } +2.\cos { \left( \frac { 4\pi  }{ 11 }  \right)  } -\quad 2.\cos { \left( \frac { 8\pi  }{ 11 }  \right)  } \quad +\quad 2-2.\cos { \left( \frac { 10\pi  }{ 11 }  \right)  } \quad -$

$4\left[ \cos { \left( \frac { 4\pi  }{ 11 }  \right)  } -\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right] \quad +\quad 2-2.\cos { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } =$

$=\frac { \left[ 1-\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]  }{ 2 } -2.\left[ \cos { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { 4\pi  }{ 11 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { 8\pi  }{ 11 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { 10\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]+$

$6.\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  } +4$

Chamando: $ S=\cos { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { 4\pi  }{ 11 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { 8\pi  }{ 11 }  \right)  } +\cos { \left( \frac { 10\pi  }{ 11 }  \right)  }$

Multiplicando por $2.\sin { \left( (razão\quad da\quad P.A.)/2 \right)  }$ e já abrindo a prostraférese:

$2.S.\sin { \left( \frac { \pi  }{ 11 }  \right)  } =-\sin { \left( \frac { \pi  }{ 11 }  \right)  } \\ \therefore \quad S=-\frac { 1 }{ 2 }$

Então substituindo, temos:

$\frac { \left[ 1-\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]  }{ 2 } +6.\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  } +5={ x }^{ 2 }.\cos ^{ 2 }{ \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  }$

$\left[ 1-\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right] +12.\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  } +10=2.{ x }^{ 2 }.\cos ^{ 2 }{ \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  }$

Só que $\sin ^{ 2 }{ x } =\frac { \left[ 1+\cos { \left( 2x \right)  }  \right]  }{ 2 }$ :

$11.\left[ 1+\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right] ={ x }^{ 2 }.\left[ 1+\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 11 }  \right)  }  \right]$

$\therefore \quad x=\pm \sqrt { 11 }$

Como $\frac { 3\pi  }{ 11 }$  e $\frac { 2\pi  }{ 11 }$  pertencem ao primeiro quadrante,

$\tan { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right) \quad +\quad  } 4.\sin { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  }$ é sempre positivo logo:

$\boxed{\tan { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right) \quad +\quad  } 4.\sin { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } =\sqrt { 11 }} $

2a. Solução de Frank Wan:

$\tan { \left( \frac { 3\pi }{ 11 } \right) } +4.\sin { \left( \frac { 2\pi }{ 11 } \right) } =\sqrt { 11 }$

Faça ${ e }^{ \left( \frac { 2\pi }{ 11 } \right) }=x$,

Logo: $2\left[ 2.i\sin { \left( \frac { 2\pi }{ 11 } \right) } \right] =2\left( x-{ x }^{ 10 } \right) \quad \cdots\left( i \right)$

$i.\tan { \left( \frac { 3\pi }{ 11 } \right) } =\frac { { x }^{ 3 }-1 }{ { x }^{ 3 }+1 } =\frac { { x }^{ 3 }-{ x }^{ 33 } }{ { x }^{ 3 }+1 } \quad \cdots \left( ii \right)$

Somando a expressão (i) com a (ii), obtemos:

${ S }_{ 0 }=\underbrace { { x }^{ 10 }+{ x }^{ 9 }+{ x }^{ 5 }+{ x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 } }_{ { S }_{ 1 } } -\underbrace { \left( { x }^{ 8 }+{ x }^{ 7 }+{ x }^{ 6 }+{ x }^{ 2 }+x \right) }_{ { S }_{ 2 } }$

Temos:  

$i.\tan { \left( \frac { 3\pi }{ 11 } \right) } +i.4.\sin { \left( \frac { 2\pi }{ 11 } \right) } ={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 }$

$ 1+{ S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }=\frac { { x }^{ 11 }-1 }{ { x }-1 } =0,\quad { S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }=-1\\ \\ { S }_{ 1 }.{ S }_{ 2 }=5+2\left( { S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 } \right) =3$

${ S }_{ 1 }\quad e\quad { S }_{ 2 }$ são raízes $\frac { -1\pm i\sqrt { 11 } }{ 2 } \quad de\quad { \upsilon }^{ 2 }+\upsilon +3=0$

$\therefore \quad { S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 }=\pm i\sqrt { 11 }$

Como $tan$ e o $sin$ são positivos, 

$\boxed{\tan { \left( \frac { 3\pi  }{ 11 }  \right)  } +4\sin { \left( \frac { 2\pi  }{ 11 }  \right)  } =\sqrt { 11 }} $

$\square$