$$\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\geq 4$$
Solução de Fabiano Ferreira:
Vejamos aqui uma solução na qual parto de manipulação da primeira parte da desigualdade, uso $ MA \geq MH $ e concluo a prova.
1) Vamos partir de:
$$ \frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a} =$$
$$(a+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d} \right )+ (b+d)\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a} \right ) (I)$$
2) Pela desigualdade $ MA \geq MH $
$$\sum^{n}_{k=1}\frac{a_k}{n} \geq \frac{n}{ \sum\limits^n_{k=1}\frac{1}{a_k} } (II) $$
3) Na forma extensa:
$$ \frac { { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }+{ a }_{ 3 }+\cdots +{ a }_{ n } }{ n } \geq \frac { n }{ \frac { 1 }{ { a }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { a }_{ 2 } } +\frac { 1 }{ { a }_{ 3 } } +\cdots +\frac { 1 }{ { a }_{ n } } } (III) $$
4) Aplicando (III) aos dois termos de $\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d} \right )$:
$$\frac { \frac { 1 }{ a+b } +\frac { 1 }{ c+d } }{ 2 } \geq \frac { 2 }{ \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ a+b } } +\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ c+d } } } $$
$$ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d} \geq \frac {4}{a + b + c + d} (IV)$$
5) Aplicando (III) aos dois termos de $\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a} \right ) $:
$$ \frac { \frac { 1 }{ b+c } +\frac { 1 }{ d+a } }{ 2 } \geq \frac { 2 }{ \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ b+c } } +\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ d+a } } } $$
$$ \frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a} \geq \frac {4}{a + b + c + d} (V)$$
6) Assim, reescrevemos a segunda parte de (I) à luz de (IV) e (V):
$$ (a+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d} \right )+ (b+d)\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a} \right ) \geq $$
$$ \frac {4 (a+c)}{a + b + c + d} + \frac {4(b+d)}{a + b + c + d} = \frac {4(a + b + c + d)}{a + b + c + d}=4 $$
7) Portanto:
$$ \frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\geq 4 $$
Q.E.D.
Generalização
Aproveitando o ensejo, motivado por minha resolução, o Rodrigo Lima (Renji Rodrigo) apresenta uma tentativa de generalização que procura ver mais de cima e, de quebra, contém a desigualdade de Nesbitt:
$$\sum^{n}_{k=1}\frac{x_k}{n}
\geq \frac{n}{ \sum\limits^n_{k=1}\frac{1}{x_k} } \Leftrightarrow $$
$$(\sum^{n}_{k=1} x_k ) (\sum\limits^n_{k=1}\frac{1}{x_k}) \geq n^2 $$
Tomamos agora $x_k= a_k+a_{k+1}$ com $a_{n+1}=a_1 .$
$$(\sum^{n}_{k=1} a_k+a_{k+1}) (\sum\limits^n_{k=1}\frac{1}{a_k+a_{k+1}}) \geq n^2 $$
$$(\sum^{n}_{k=1} a_k+\sum^{n}_{k=2}a_{k}+\underbrace{a_{n+1}}_{=a_1}) (\sum^n_{k=1}\frac{1}{a_k+a_{k+1}}) \geq n^2 $$
$$(2\sum^{n}_{k=1} a_k) (\sum^n_{t=1}\frac{1}{a_t+a_{t+1}}) \geq n^2 $$
$$ (\sum\limits^n_{t=1}\frac{\sum\limits^{n}_{k=1} a_k}{a_t+a_{t+1}}) \geq \frac{n^2}{2} $$
$$ (\sum^n_{t=1}\frac{(\sum\limits^{n}_{k=1} a_k) -a_ta_{t+1}}{a_t+a_{t+1}}+1) \geq \frac{n^2}{2} $$
$$ (\sum^n_{t=1}\frac{(\sum\limits^{n}_{k=1} a_k) -a_ta_{t+1}}{a_t+a_{t+1}}) \geq \frac{n^2}{2}-n =\frac{n(n-2)}{2} $$
Logo, concluímos que:
$$\sum^n_{t=1}\frac{(\sum\limits^{n}_{k=1} a_k) -a_ta_{t+1}}{a_t+a_{t+1}}) \geq \frac{n(n-2)}{2} .$$
$$(\sum^{n}_{k=1} x_k ) (\sum\limits^n_{k=1}\frac{1}{x_k}) \geq n^2 $$
Tomamos agora $x_k= a_k+a_{k+1}$ com $a_{n+1}=a_1 .$
$$(\sum^{n}_{k=1} a_k+a_{k+1}) (\sum\limits^n_{k=1}\frac{1}{a_k+a_{k+1}}) \geq n^2 $$
$$(\sum^{n}_{k=1} a_k+\sum^{n}_{k=2}a_{k}+\underbrace{a_{n+1}}_{=a_1}) (\sum^n_{k=1}\frac{1}{a_k+a_{k+1}}) \geq n^2 $$
$$(2\sum^{n}_{k=1} a_k) (\sum^n_{t=1}\frac{1}{a_t+a_{t+1}}) \geq n^2 $$
$$ (\sum\limits^n_{t=1}\frac{\sum\limits^{n}_{k=1} a_k}{a_t+a_{t+1}}) \geq \frac{n^2}{2} $$
$$ (\sum^n_{t=1}\frac{(\sum\limits^{n}_{k=1} a_k) -a_ta_{t+1}}{a_t+a_{t+1}}+1) \geq \frac{n^2}{2} $$
$$ (\sum^n_{t=1}\frac{(\sum\limits^{n}_{k=1} a_k) -a_ta_{t+1}}{a_t+a_{t+1}}) \geq \frac{n^2}{2}-n =\frac{n(n-2)}{2} $$
Logo, concluímos que:
$$\sum^n_{t=1}\frac{(\sum\limits^{n}_{k=1} a_k) -a_ta_{t+1}}{a_t+a_{t+1}}) \geq \frac{n(n-2)}{2} .$$
Nenhum comentário:
Postar um comentário