[MAT] Rússia- Россия

(Rússia- Россия) Prove que, se $x+\frac{1}{x}=2\cos{\alpha}$, então,

$x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos{n\alpha}$.

Solução de Fabiano Ferreira:

HIPÓTESE:

$\boxed{x+\frac { 1 }{ x } =2\cos { \alpha  }} $

Da Hipótese, inferimos que:

 $x^{ 2 }-2x\cos  (\alpha )+1=0$

 $\Leftrightarrow \quad x=\frac { 2\cos  (\alpha)\pm \sqrt { { 4\cos ^{ 2 }{ \alpha  }  }-4 }  }{ 2 } =$

 $=\cos  (\alpha)\pm \sqrt { { \cos ^{ 2 }{ \alpha  }  }-1 } =$

$=\cos  (\alpha)\pm \sqrt { -1\underbrace { { (1-\cos ^{ 2 }{ \alpha  }  }) }_{ \sin ^{ 2 }{ \alpha  }  }  } =$

$=\cos  (\alpha)\pm i.\sin  (\alpha )$

$\therefore x=\cos  (\alpha)\pm i.\sin  (\alpha )$

Por De Moivre:

 ${ x }^{ n }=\cos  (n\alpha )\pm i\sin  (n\alpha )$

$\frac { 1 }{ { x }^{ n } } =\frac { 1 }{ \cos  (n\alpha )\pm i\sin  (n\alpha ) } =$

$=\cos  (n\alpha )\mp i\sin  (n\alpha )$

Adicionando:

$x^{ n }+\frac { 1 }{ x^{ n } } =\cos  (n\alpha )\pm i\sin  (n\alpha ) +$

$ \cos  (n\alpha )\mp i\sin  (n\alpha )=$

$=2\cos { n\alpha  } $

TESE:

$\boxed{x^{ n }+\frac { 1 }{ x^{ n } } =2\cos { n\alpha  } }$

Q.E.D.