[Complexos] DE MOIVRE - Teorema

[Complexos]

DE MOIVRE - Teorema

Prove que, quaisquer que sejam os valores de $n$, positivo ou negativo, inteiro ou fracionário, $\cos {(n\theta)} + i \sin {(n\theta)}$ é o valor ou um dos valores de ${(\cos\theta + i\sin\theta)}^{n}$.

Prova de Fabiano Ferreira:

Caso 1: $n$ é inteiro positivo.

Por multiplicação direta e as fórmulas de adição, teremos:

$\cos { \alpha +i\sin { \alpha  }  })(\cos { \beta +i\sin { \beta) }  } =$
$ =(\cos { \alpha  } \cos { \beta  } - \sin { \alpha  } \sin { \beta)+ i(\sin { \alpha  } \cos { \beta  } + } \sin { \beta  } \cos { \alpha  })=$
$ =\cos { (\alpha +\beta )+i\sin { (\alpha +\beta) }  } $

Analogamente,
$(\cos { \alpha +i\sin { \alpha  }  })(\cos { \beta +i\sin { \beta) }  } (\cos { \gamma +i\sin { \gamma  }  })=$
$ =[\cos { (\alpha +\beta)+i\sin { (\alpha +\beta) }  }] (\cos { \gamma +i\sin { \gamma  }  })=$
$ =\cos { (\alpha +\beta +\gamma)+i\sin { (\alpha +\beta +\gamma) }  } $

Procedendo por indução:

$\underbrace { (\cos { { \theta  }_{ 1 }+i\sin { { \theta  }_{ 1 } }  } )(\cos { { \theta  }_{ 2 }+i\sin { { \theta  }_{ 2 } }  }) \cdots (\cos { { \theta  }_{ n }+i\sin { { \theta  }_{ n } }  }) }_{ n } =$

$ =\cos { ({ \theta  }_{ 1 }+{ \theta  }_{ 2 }+\cdots { +\theta  }_{ n }) } +i\sin { ({ \theta  }_{ 1 }+{ \theta  }_{ 2 }+\cdots { +\theta  }_{ n }) } $

Fazendo ${ \theta  }_{ 1 }={ \theta  }_{ 2 }=\cdots ={ \theta  }_{ n }=\theta$ 
$\underbrace { (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } )(\cos { \theta +i\sin { \theta) }  } \cdots (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  }) }_{ n } =$

$ =\cos { \underbrace { (\theta +\theta +\cdots +\theta) }_{ n }  } +i\sin { \underbrace { (\theta +\theta +\cdots +\theta) }_{ n }  } =\\ \\ { (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  }) }^{ n }=\cos { (n\theta )+i\sin { (n\theta ) }  }$

Agora, procedamos à prova do resultado usando o Princípio da Indução Matemática.

1) Primeiramente, testemos a veracidade da proposição para $n=1$:

${ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  }) }^{ 1 }=\cos { (1\theta )+i\sin { (1\theta ) }  }$

${ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  }) }=\cos { (\theta )+i\sin { (\theta ) }  }$ 

(Verdadeira).

2) Segundo, estabeleçamos a Hipótese de Indução (HI):

${ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  }) }^{ k }=\cos { (k\theta )+i\sin { (k\theta ) }  }$  (Verdadeira)

3) HI-P(k) (V) $\rightarrow$ P(k+1) (V)?

Ou seja, assumindo P(k) verdadeira isto implica em P(k+1) verdadeira? Vejamos.

${ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }^{ k+1 }={ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }^{ k }\cdot { (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }$

Pela HI: 

${ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }^{ k+1 }=\underbrace { { (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }^{ k } }_{ \cos { (k\theta )+i\sin { (k\theta ) }  }  } \cdot { (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }$

Deste modo,

${ (\cos { \theta  } +i\sin { \theta  } ) }^{ k+1 }=(\cos { (k\theta ) } +i\sin { (k\theta ) }) \cdot { (\cos { \theta  } +i\sin { \theta  } ) }$ 


Por multiplicação direta, como fizemos acima:

${ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }^{ k+1 }=\cos { (k\theta )+i\sin { (k\theta )\cdot { (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }=$ }  } $

$=\cos { (k\theta +\theta )+i\sin { (k\theta +\theta ) }  } =\cos { (k+1)\theta +i\sin { (k+1)\theta  }  } $

Portanto,

${ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }^{ k+1 }=\cos { (k+1)\theta +i\sin { (k+1)\theta  }  } \square$

Q.E.D.



Caso 2: $n$ é inteiro negativo.

Façamos $n=-m$, com $m$ um inteiro positivo.

Temos:

$(\cos { \theta  } +i\sin { \theta  } )^{ n }=(\cos { \theta  } +i\sin { \theta  } )^{ -m }=$

$=\frac { 1 }{ { (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }^{ m } } =\frac { 1 }{ { \cos { (m\theta )+i\sin { (m\theta ) }  }  } } $

Multiplicando numerador e denominador por $\cos  (m\theta )-i\sin  (m\theta )$:

$=\frac { 1 }{ { \cos { (m\theta )+i\sin { (m\theta ) }  }  } } \cdot \frac { \cos  (m\theta )-i\sin  (m\theta ) }{ \cos  (m\theta )-i\sin  (m\theta ) }= $

$=\frac { \cos  (m\theta )-i\sin  (m\theta ) }{ { \cos ^{ 2 }  }{ (m\theta ) }-{ i^{ 2 } }{ \sin ^{ 2 }  }{ (m\theta ) } } =\frac { \cos  (m\theta )-i\sin  (m\theta ) }{ { \cos ^{ 2 }  }{ \theta  }+{ \sin ^{ 2 }  }{ \theta  } } =\cos  (m\theta )-i\sin  (m\theta )=$

$=\cos  (-m\theta )+i\sin  (-m\theta )$

Como $n=-m$, então:

$\cos  (-m\theta )+i\sin  (-m\theta )=\cos  (n\theta )+i\sin  (n\theta )$

Portanto, isto conclui a prova:

${ (\cos { \theta +i\sin { \theta  }  } ) }^{ n }=\cos { (n\theta )+i\sin { (n\theta ) }  } \square $

Q.E.D.