[PUTNAM]

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Seja $f:[0,\infty)\to \mathbb{R}$ uma função contínua estritamente decrescente tal que $\lim_{x\to\infty}  f(x) = 0$.  

Prove que $\int_0^\infty \frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx$ diverge.

Solução de Paul Allen

Sejam $b>a$ inteiros não-negativos. Então:


$\begin{align*}
\int_a^b \frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}dx &=
\sum_{k=a}^{b-1} \int_0^1 \frac{f(x+k)-f(x+k+1)}{f(x+k)}dx \\
&= \int_0^1 \sum_{k=a}^{b-1} \frac{f(x+k)-f(x+k+1)}{f(x+k)}dx \\
&\geq \int_0^1 \sum_{k=a}^{b-1} \frac{f(x+k)-f(x+k+1)}{f(x+a)}dx \\
&= \int_0^1 \frac{f(x+a)-f(x+b)}{f(x+a)} dx.
\end{align*}$


Agora, desde que $f(x)\rightarrow 0$, dado $a$, podemos escolher um inteiro $l(a)>a$ para o qual $f(l(a)) < f(a+1)/2$; 

então $\frac{f(x+a)-f(x+l(a))}{f(x+a)} \geq 1 - \frac{f(l(a))}{f(a+1)} > 1/2$ para todo $x\in [0,1]$. 

Assim, definimos a sequência de inteiros $a_n$ por $a_0=0$, $a_{n+1}=l(a_n)$, então, 

$\int _{ 0 }^{ \infty  } \frac { f(x)-f(x+1) }{ f(x) } dx=$


$\sum _{ n=0 }^{ \infty  } \int _{ a_{ n } }^{ a_{ n+1 } } \frac { f(x)-f(x+1) }{ f(x) } dx$


$>\sum _{ n=0 }^{ \infty  } \int _{ 0 }^{ 1 } (1/2)dx,$

e a soma final claramente diverge.