[MAT-IIT-JEE] - Integral

[IIT-JEE] Para n>0, calcule:

$\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { x{ sen }^{ 2n }x }{ { sen }^{ 2n }x+{ cos }^{ 2n }x } } dx$


Solução de Fabiano Ferreira:

$\Psi =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { x{ sen }^{ 2n }x }{ { sen }^{ 2n }x+{ cos }^{ 2n }x } } dx\quad \quad (1)$

Usemos a propriedade:

$\int^a_0 f(x) dx = \int^a_0 f(a-x)dx $

$\Psi =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { (2\pi -x){ sen }^{ 2n }(2\pi -x) }{ { sen }^{ 2n }(2\pi -x)+{ cos }^{ 2n }(2\pi -x) } } dx$

$\Rightarrow \Psi =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { (2\pi -x){ sen }^{ 2n }(x) }{ { sen }^{ 2n }(x)+{ cos }^{ 2n }(x) } } dx\quad \quad (2)$

Somando (1) e (2):

$2\Psi =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { 2\pi { sen }^{ 2n }x }{ { sen }^{ 2n }x+{ cos }^{ 2n }x } } dx$

$\Rightarrow \Psi =\pi \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { { sen }^{ 2n }x }{ { sen }^{ 2n }x+{ cos }^{ 2n }x } } dx$

$\Rightarrow \Psi =2\pi \int _{ 0 }^{ \pi }{ \frac { { sen }^{ 2n }x }{ { sen }^{ 2n }x+{ cos }^{ 2n }x } } dx\quad$

Usando 

$\int _{ 0 }^{ 2a } f(x)dx=2\int _{ 0 }^{ a } f(x)dx,$

$\;se\; f(2a-x)=f(x),\;teremos:$

$\Rightarrow \Psi =4\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { sen }^{ 2n }x }{ { sen }^{ 2n }x+{ cos }^{ 2n }x } } dx\quad \quad (3)$

$\Rightarrow \Psi =4\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { cos }^{ 2n }x }{ { { cos }^{ 2n }x+sen }^{ 2n }x } } dx\quad \quad (4)$

Somando (3) e (4):

$2\Psi =4\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ 1\cdot dx } =4\pi \left( \frac { \pi }{ 2 } -0 \right) =2{ \pi }^{ 2 }$

$\boxed { \Psi ={ \pi }^{ 2 } }$