[Crux Math] Equações Funcionais

[Crux Math - 2006] Sejam $a$ e $b$ números reais não-nulos fixos. Encontre todas as funções $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tais que:

$f\left( x-\frac { b }{ a }  \right) +2x\le \frac { a }{ b } { x }^{ 2 }+\frac { 2b }{ a } \le f\left( x+\frac { b }{ a }  \right) -2x$, $\forall x\in \mathbb{R}$.

Solução de Fabiano Ferreira:

1) Fazendo $y=x-\frac{b}{a}$ na desigualdade da esquerda, teremos:

$f(y)\le \frac { a }{ b } { y }^{ 2 }+\frac { b }{ a } $.

2) Fazendo $y=x+\frac{b}{a}$ na desigualdade da direita, teremos: $f(y)\ge \frac { a }{ b } { y }^{ 2 }+\frac { b }{ a }$.

3) Portanto, $f(y)=\frac { a }{ b } { y }^{ 2 }+\frac { b }{ a } ,\quad \forall y\in  \mathbb{R}.$