[Omegaleph] Equações Funcionais

(Omegaleph) Sejam $f_0(x)=\frac{1}{1-x}$ e $f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$, $n=1,2,3,....$ Calcule $f_{2012}(2012)$.

Solução de Fabiano Ferreira:

${ f }_{ 0 }(x)=\frac { 1 }{ 1-x } $

Usando a recorrência $f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$, $n=1,2,3,...$:

${ f }_{ 1 }(x)={ f }_{ 0 }({ f }_{ 0 }(x))=\frac { 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 1-x }  } =\frac { 1-x }{ -x } =\frac { x-1 }{ x }$

${ f }_{ 2 }={ f }_{ 0 }({ f }_{ 1 }(x))=\frac { 1 }{ 1-\frac { x-1 }{ x }  } =\frac { 1 }{ \frac { x-x+1 }{ x }  } =x$

$ { f }_{ 3 }(x)={ f }_{ 0 }({ f }_{ 2 }(x))={ f }_{ 0 }(x)=\frac { 1 }{ 1-x } $

$ { f }_{ 4 }(x)={ f }_{ 1 }(x)$

$ { f }_{ 5 }(x)={ f }_{ 2 }(x)$

$ { f }_{ 6 }(x)={ f }_{ 0 }(x)$ 

.....................................................

Deste modo, podemos concluir indutivamente que:

$ { f }_{ 3k }(x)={ f }_{ 0 }(x),\quad k=0,1,2,3,\cdots $

$ { f }_{ 3k+1 }(x)={ f }_{ 1 }(x),\quad k=0,1,2,3,\cdots $

$ { f }_{ 3k+2 }(x)={ f }_{ 2 }(x),\quad k=0,1,2,3,\cdots $




Como $ 2012\equiv 2\quad (mod\quad 3)$, então,

$ { f }_{ 2012 }(x)={ f }_{ 3k+2 }(x)={ f }_{ 2 }(x)=x$

$ { f }_{ 2012 }(2012)={ f }_{ 2 }(2012)=2012$

Resp.: $ \boxed { { f }_{ 2012 }(2012)=2012 }$