[FIS-Oscilações] - Lucas Lugão Guimarães

[FIS-Oscilações] - Lucas Lugão Guimarães: A imagem ilustra uma estrutura triangular que é constituída por hastes rígidas formando um triângulo isósceles de base $ L $ e altura $ H $. Duas contas de massa $ m $ cada são colocadas nos lados congruentes da estrutura de modo a poderem deslizar sem atrito pelas hastes. As contas são ligadas por uma mola ideal de constante $ k $ e massa desprezível. Considerando que a gravidade no local é vertical e dirigida para baixo e que a reta que passa pelas contas sempre se mantém na horizontal, calcule o período das oscilações do sistema quando ele é perturbado.

1a. Solução de Lucas Lugão Guimarães:

Segue a resolução usando a equação de Euler-Lagrange para obter a equação do movimento e o método das perturbações para encontrar o período:

$ \\ \text{Escrevendo a energia potencial do sistema:} \\ \\V=\frac{k}{2} (l-l_0)^2-2mgh \\ \\\text{E também a energia cinética:}\\ \\ T=m\left(\dot{h}^2+\frac{\dot{l}^2}{4}\right) \\ \\\text{Pela definição da Lagrangiana:}\\ \\ L=T-V \\ \\ L=m\left(\dot{h}^2+\frac{\dot{l}^2}{4}\right)+2mgh-\frac{k}{2} (l-l_0)^2 \\ \\\text{Por semelhança de triângulos se extrai a relação de vínculo:}\\ \\ h = l \frac{H}{L} \\ \\ L=m\dot{l}^2\left( \frac{L^2+4H^2}{4L^2}\right)+2mgl\frac{H}{L}-\frac{k}{2} (l-l_0)^2 \\ \\ L=m\dot{l}^2\left( \frac{L^2+4H^2}{4L^2}\right)+2mgl\frac{H}{L}-\frac{kl^2}{2}-\frac{kl_0^2}{2} +kll_0\\ \\\text{A equação de Euler-Lagrange é:}\\ \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{l}}\right) = \frac{\partial L}{\partial l} \\ \\ $ $ \\ \\ \frac{d}{dt}\left(2m\dot{l}\left( \frac{L^2+4H^2}{4L^2}\right)\right) = 2mg\frac{H}{L}+k(l_0-l) \\ \\ 2m\ddot{l}\left( \frac{L^2+4H^2}{4L^2}\right) = 2mg\frac{H}{L}+k(l_0-l) \\ \\\text{Pelo método das perturbações:}\\ \\ 2mg\frac{H}{L}+k(l_0-l_e) = 0 \\ \\\text{Fazendo} l = l_e + \delta \\ \\ 2m\ddot{\delta}\left( \frac{L^2+4H^2}{4L^2}\right) = 2mg\frac{H}{L}+k(l_0- l_e - \delta) \\ \\ 2m\ddot{\delta}\left( \frac{L^2+4H^2}{4L^2}\right) = 2mg\frac{H}{L}+k(l_0- l_e )- k\delta \\ \\ 2m\ddot{\delta}\left( \frac{L^2+4H^2}{4L^2}\right) = - k\delta \\ \\ \ddot{\delta} + \frac{k}{2m} \left( \frac{4L^2}{L^2+4H^2}\right)\delta =0 \\ \\\text{Logo:}\\ \\ \boxed{T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k} \left( \frac{L^2+4H^2}{L^2}\right)}} \\ \\ $

2a. Solução de Víctor Domene:

A força elástica, na direção das hastes, em cada conta, é dada por:

$ F = -kxcos(\theta ) $

Sendo $ \theta $ o ângulo da base do triângulo isósceles:

$ cos( \theta ) = \frac{L}{\sqrt{4H^2+L^2}} $

$ sen( \theta ) = \frac{2H}{\sqrt{4H^2+L^2}} $

$ sen( 2\theta ) = \frac{4HL}{4H^2+L^2} $

Note que o ângulo oposto à base vale $ 180 - 2 \theta $ e portanto:

$ cos(180 - 2\theta ) = - cos(2 \theta ) = - 2cos^2( \theta ) + 1 $

Somamos as forças em cada massa, que nos dará, pela lei de cossenos:

$ F_{e_R}^2 = 2k^2x^2cos^2(\theta) + 2k^2x^2cos^2(\theta)cos(2\theta) $

$ F_{e_R}^2 = 4k^2x^2cos^2(\theta) - 4k^2x^2cos^4(\theta) $

$ F_{e_R}^2 = 4k^2x^2cos^2(\theta) (1-cos^2(\theta)) $

$ F_{e_R}^2 = 4k^2x^2cos^2(\theta)sen^2(\theta) $

$ F_{e_R} = 2kxcos(\theta)sen(\theta) $

$ F_{e_R} = kxsen(2\theta) $

Então, podemos escrever, levando em conta que, pela semelhança no triângulo isósceles:

$ x = \frac{hL}{H} $

$ 2mg - \frac{khLsen(2\theta)}{H} = 2mh'' $

Em que h'' é a aceleração do sistema, na vertical.

Dividindo dos dois lados por 2m:

$ g - \frac{khLsen(2\theta)}{2mH} = h'' $

Reescrevendo:

$ A = \frac{kLsen(2\theta)}{2mH} $

$ B = g $

Tem-se:

$ h'' + Ah - B = 0 $

Resolvendo-se a parte homogênea:

$ h'' + Ah = 0 $

Sendo 

$ h = e^{pt} \iff h'' = p^2 e^{pt} $

Temos:

$ p^2 + A = 0 \iff p = \pm \sqrt{A}i $

Então as soluções são:

$ h_c = c_1e^{\sqrt{A}it} + c_2e^{-\sqrt{A}it} $

Que também pode ser reescrito como:

$ h_c = C \times cos(\sqrt{A}t) $

Resolvendo-se a parte não homogênea:

$ h = c \iff h'' = 0 $

$ h'' + Ah - B = 0 \iff h = c = \frac{B}{A} $

Portanto:

$ h = C \times cos( \sqrt{A}t ) + \frac{B}{A} $

Que tem como período:

$ T = \frac{2\pi}{\sqrt{A}} = 2\pi \sqrt{\frac{2mH}{kLsen(2\theta)}} $

$\boxed { T=2\pi \sqrt { \frac { m }{ 2k } \left( \frac { 4H^{ 2 }+L^{ 2 } }{ L^{ 2 } }  \right)  }  } $