[IME - Trigonometria 1974]

[IME - Trigonometria 1974]


Mostrar que o conjunto de igualdades

$\begin{cases} a+b=\pi -(c+d) \\ \frac{sen\quad a }{ sen\quad b } =\frac { sen\quad c }{ sen\quad d } \end{cases}$

Acarreta a igualdade:

$cotg\, a - cotg\, b = cotg\, c - cotg\, d$


Metodologia de solução proposta por Fabiano Ferreira

Primeiramente, vamos filosofar para relaxar um pouco.

Quando você se deparar com uma questão deste tipo, à semelhança do que eu disse na proposta de redação, o autor da questão se baseia no fato de que, enquanto leitor, seu conhecimento prévio de mundo e partilhado nesta área permita o diálogo entre autor e leitor. É sempre assim, pois o seu conhecimento prévio de mundo, enquanto leitor, pressupõe que você tenha a capacidade de entender a mensagem do autor. A linguagem matemática é, antes de tudo, uma linguagem e precisa de interpretação. O mesmo se pode dizer acerca de todos os tipos de linguagem, seja na Física, na Química, etc.

Agora, quanto à questão do conhecimento prévio partilhado, o autor pressupõe que, em certa área específica, você detenha o conhecimento específico para decodificar o que ele está dizendo especificamente. Aqui está o cerne da metodologia de resolução de problemas em matemática ou outra área qualquer. Autor e leitor precisam estar lendo a mesma página da cartilha. Aqui nos EUA é corriqueira a expressão idiomática TO BE ON THE SAME PAGE.

Ao olhar a questão acima, você sabe que é uma questão de matemática de nível médio. Estreitando mais um pouquinho, sabe que é de Trigonometria. Isto vai fazendo com que você selecione em sua memória as ferramentas necessárias para atacar o problema. Este é o procedimento metodológico natural, a epistemologia (ciência que estuda os meios de saber e aprender) nos assegura que assim acontece.

Portanto, chegando ao grau de estreitamento que o problema exige, é imprescindível que você saiba, neste caso específico desta questão, as fórmulas de PROSTAFÉRESE decorrentes das Fórmulas de Werner. Pronto, este é o nível de especificidade exigido para que você consiga dialogar com o autor e faça o que ele pede que seja feito.

Solução Propriamente Dita

1) Enumeremos as igualdades dadas nas premissas do problema.

Chamemos

PREMISSAS:

$a+b=\pi -(c+d) \cdots (1)$

e

$\frac{sen\, a }{ sen\, b } =\frac { sen\, c }{ sen\, d} \cdots (2)$

CONCLUSÃO:

$cotg\, a - cotg\, b = cotg\, c - cotg\, d \cdots (3)$

2) Evocando os meandros sombrios de minha memória, eu me lembro da seguinte Fórmula de Prostaférese ou de transformação em produto. Esta fórmula decorre do fato de eu substituir nas tradicionais fórmulas de Werner as igualdades a+b=p e a - b=q, e depois usar o conceito de cotangente:

$\boxed{cotg\, p + cotg\, q=\frac { sen\, (p + q)}{ sen\, p \,. \, sen \,q }}\cdots (4)$

3) Portanto, minha primeira intuição, após comparar a Fórmula (4) com os dados do problema, recomenda-me reescrever a igualdade (3) que o autor diz que acarreta das outras igualdades prévias (1) e (2).

REESCREVENDO O PROBLEMA: Demonstrar que:

$\boxed{(1)\wedge (2)\Longrightarrow (3)}$

Então, levando em conta (4) posso reescrever (3):

$cotg\, a - cotg\, b = cotg\, c - cotg\, d \cdots (3)$

$\Leftrightarrow cotg\, a + cotg\, d = cotg\, b + cotg\, c \cdots (5)$

4) Aplicando a Fórmula de Prostaférese, vem:

$cotg\, a + cotg\, d=\frac { sen\, (a + d)}{ sen\, a \,. \, sen \,d }\cdots (6)$

$cotg\, b + cotg\, c=\frac { sen\, (b + c)}{ sen\, b \,. \, sen \,c }\cdots (7)$

De (5), (6) e (7):

$\frac { sen\, (a + d)}{ sen\, a \,. \, sen \,d }=\frac { sen\, (b + c)}{ sen\, b \,. \, sen \,c }\cdots (8)$

5) Das primeiras duas igualdades (1) e (2), as premissas do problema, tiramos que (reescrevendo-as):

$\begin{cases} a+b=\pi -(c+d) \Leftrightarrow a+d=\pi -(b+c) \\ sen\, a \,. \, sen\, d = sen\, b . sen \, c \end{cases}$

Por sua vez,

$a+d=\pi -(b+c) \cdots (9)$

$\Leftrightarrow sen\, (a+d) = sen\, (b+c) \cdots (10)$

6) Por fim, esta última igualdade (10) e a segunda igualdade (2) dada como premissa do problema permitem-me escrever:

$\frac { sen\, (a + d)}{ sen\, (b + c)}=\frac {sen\, a \,. \, sen \,d }{ sen\, b \,. \, sen \,c }\cdots (11) $

$\Leftrightarrow \frac { sen\, (a + d)}{ sen\, a \,. \, sen \,d }=\frac { sen\, (b + c)}{ sen\, b \,. \, sen \,c }\cdots (8)$

$\Leftrightarrow cotg\, a + cotg\, d = cotg\, b + cotg\, c \cdots (5)$

$\Leftrightarrow cotg\, a - cotg\, b = cotg\, c - cotg\, d \cdots (3)$

Deste modo, concluímos a prova.

$\square$