Solução de Fabiano Ferreira:
Temos que $\frac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+ \cdots
+x+1$.
Se chamarmos $\frac {2^n-2}{n}$ de $p$, teremos $p=\frac {2^n-2}{n}$.
Assim, podemos escrever:
$\frac { 2^{ 2^{ n }-1 }-2 }{ 2^{ n }-1 } =\frac { 2(2^{ 2^{ n }-2 }-1) }{ 2^{ n }-1 } $
Isto, por sua vez, lembrando que $np={2^n-2}$, poderá ser escrito:
$\frac { 2(2^{ 2^{ n }-2 }-1) }{ 2^{ n }-1 } =\frac { 2(2^{ np }-1) }{ 2^{ n }-1 } =2(2^{ n(p-1) }+2^{ n(p-2) }+\cdots +{ 2 }^{ n }+1)$
Se chamarmos $\frac {2^n-2}{n}$ de $p$, teremos $p=\frac {2^n-2}{n}$.
Assim, podemos escrever:
$\frac { 2^{ 2^{ n }-1 }-2 }{ 2^{ n }-1 } =\frac { 2(2^{ 2^{ n }-2 }-1) }{ 2^{ n }-1 } $
Isto, por sua vez, lembrando que $np={2^n-2}$, poderá ser escrito:
$\frac { 2(2^{ 2^{ n }-2 }-1) }{ 2^{ n }-1 } =\frac { 2(2^{ np }-1) }{ 2^{ n }-1 } =2(2^{ n(p-1) }+2^{ n(p-2) }+\cdots +{ 2 }^{ n }+1)$
que é inteiro.
Como se fizéssemos $x=2^n$ na divisão de polinômios que
inicia nossa solução.
Portanto, $\frac { { 2 }^{ { 2 }^{ n }-1 }-2 }{ { 2 }^{ n }-1 } $ também é inteiro.
Portanto, $\frac { { 2 }^{ { 2 }^{ n }-1 }-2 }{ { 2 }^{ n }-1 } $ também é inteiro.
Professor poderia postar a parte teorica de hipotese de indução seria uma boa.
ResponderExcluirNeste caso, Paulo Cesar, eu só usei algebrismo. Vou pensar na sua sugestão. Abraços!
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